Meyers Großes Taschenlexikon in 25 Bänden
Zahl
I Zahl,Grundbegriff der Mathematik zur Bez. der Mächtigkeit einer endl. Menge (Kardinal-Z.) oder zur Charakterisierung einer Ordnung innerhalb einer Menge (Ordinal-Z.). Urspr. beinhaltete der Z.-Begriff nur die zum Zählen geeigneten natürl. Z. N (ℕ), die gerade (2, 4, 6 ...) oder ungerade (1, 3, 5 ...) sind, erst später alle Elemente der durch Erweiterungen der natürl. Z. gebildeten Z.-Mengen.Zahlenmengen: In der Menge der natürl. Z. sind Addition und Multiplikation uneingeschränkt ausführbar. Die Subtraktion (als Umkehrung der Addition) führte zur Null (0) und den negativen Z. (—1, —2, —3, ...); positive und negative Zahlen werden als ganze Z. Z (ℤ) zusammengefasst. Um auch die Division (Umkehrung der Multiplikation) unbeschränkt ausführen zu können, wurde die Menge der ganzen Z. durch Hinzunahme der gebrochenen Z. (Bruch) zur Menge der rationalen Z. Q (ℚ) erweitert. In ihr sind alle Gleichungen der Form a · x + b = c (a ≠ 0) lösbar, jedoch die Wurzeln bestimmter algebraischer Gleichungen (z. B. [pic.]{{;.I143_F72e.BMP;T}} ) nicht enthalten. Durch Auflösung algebraischer Gleichungen gelangt man zu den algebraischen Z., zu denen außer den rationalen Z. auch die Wurzeln gehören. Nicht mehr als Wurzeln algebraischer Gleichungen darstellbar sind die transzendenten Z. (nicht algebraische Z.), wie z. B. die Z. e (Basis der natürl. Logarithmen), die Z. π (Kreis-Z., ludolphsche Z.). Algebraische und transzendente Z. bilden zus. die irrationalen Z., die sich durch unendl. nicht period. Dezimalbrüche darstellen lassen, rationale und irrationale zus. die reellen Z. R (ℝ), deren Erweiterung die komplexen Zahlen sind. Die Erweiterung des Z.-Bereichs über die komplexen Z. hinaus führt zu den Quaternionen. (Zahlensystem, Ziffer)
Geschichte: Die Bildung von Z.-Vorstellungen ist schon aus der Jungsteinzeit bezeugt. Erst die Entwicklung von Z.-Wörtern, Z.-Zeichen und Z.-Systemen führte zu dem von den gezählten Dingen losgelösten Begriff der natürl. bzw. ganzen Z. Etwa seit 2000 v. Chr. rechneten die Ägypter und Sumerer mit Bruch-Z.; 500 v. Chr. wurden in Griechenland die ersten Versuche unternommen, auch irrationale Z. als Z. anzuerkennen. Definitionen, die alle reellen Z. erfassen sollten, gaben S. Stevin (1585) sowie R. Descartes (1637) mit seiner Streckenrechnung. Die bereits in der ind. Mathematik verwendeten negativen Z. wurden erstmals von L. Fibonacci als Lösungen von Gleichungen anerkannt und von G. Cardano allg. verwendet. Die von Cardano (1545) und R. Bombelli (um 1560) behandelten, durch den Fundamentalsatz der Algebra (A. Girard, 1629) legitimierten komplexen Z. wurden erst allg. anerkannt, nachdem sie um 1800 von C. Wessel, J. R. Argand und C. F. Gauß als Punkte bzw. gerichtete Strecken in der gaußschen Z.-Ebene und 1837 von W. R. Hamilton als Paare reeller Z. gedeutet wurden. Nach B. Bolzano und K. Weierstraß gaben um 1870 u. a. G. Cantor und R. Dedekind neue Definitionen der reellen Z., D. Hilbert lieferte 1900 eine axiomat. Begründung. Für die natürl. Z. gab G. Peano (1889) eine axiomat. Definition und P. Lorenzen (1950) eine operative Begründung mithilfe des Nachfolgerbegriffs. Ihre Deutung als Kardinal-Z. ist auf G. Frege, G. Cantor und B. Russell zurückzuführen.
▣ Literatur:
Felscher, W.: Naive Mengen u. abstrakte Z.en, 3 Bde. Mannheim 1978-89.
⃟ Ifrah, G.: Universalgeschichte der Z.en. Aus dem Frz. Sonderausg. Frankfurt am Main u. a. 21991.
⃟ Z.en, bearb. v. H.-D. Ebbinghaus u. a. Berlin u. a. 31992.
⃟ Frege, G.: Die Grundlagen der Arithmetik. Eine log. mathemat. Untersuchung über den Begriff der Z., hg. v. J. Schulte. Stuttgart 1995.
II Zahl,
Peter-Paul, Schriftsteller, * Freiburg im Breisgau 14. 3. 1944; trat 1966 der »Gruppe 61« bei; 1972-82 inhaftiert (Schusswechsel mit der Polizei). Sein radikaloppositioneller Standpunkt und seine Erfahrungen mit Prozess- und Haftbedingungen gingen in sein literar. Werk ein. Z. schreibt Lyrik (»Aber nein, sagte Bakunin und lachte laut«, 1983), Erzählungen und Romane (»Die Glücklichen. Schelmenroman«, 1979), Essays (»Der Staat ist eine mündelsichere Kapitalanlage. Hetze und Aufsätze 1967-1989«, 1989) und Stücke (»Der Erpresser«, 1990); Schauplatz seiner sozialkrit. Kriminalromane (u. a. »Der schöne Mann«, 1994) ist Jamaika, seit 1985 Wahlheimat des Autors.
Geschichte: Die Bildung von Z.-Vorstellungen ist schon aus der Jungsteinzeit bezeugt. Erst die Entwicklung von Z.-Wörtern, Z.-Zeichen und Z.-Systemen führte zu dem von den gezählten Dingen losgelösten Begriff der natürl. bzw. ganzen Z. Etwa seit 2000 v. Chr. rechneten die Ägypter und Sumerer mit Bruch-Z.; 500 v. Chr. wurden in Griechenland die ersten Versuche unternommen, auch irrationale Z. als Z. anzuerkennen. Definitionen, die alle reellen Z. erfassen sollten, gaben S. Stevin (1585) sowie R. Descartes (1637) mit seiner Streckenrechnung. Die bereits in der ind. Mathematik verwendeten negativen Z. wurden erstmals von L. Fibonacci als Lösungen von Gleichungen anerkannt und von G. Cardano allg. verwendet. Die von Cardano (1545) und R. Bombelli (um 1560) behandelten, durch den Fundamentalsatz der Algebra (A. Girard, 1629) legitimierten komplexen Z. wurden erst allg. anerkannt, nachdem sie um 1800 von C. Wessel, J. R. Argand und C. F. Gauß als Punkte bzw. gerichtete Strecken in der gaußschen Z.-Ebene und 1837 von W. R. Hamilton als Paare reeller Z. gedeutet wurden. Nach B. Bolzano und K. Weierstraß gaben um 1870 u. a. G. Cantor und R. Dedekind neue Definitionen der reellen Z., D. Hilbert lieferte 1900 eine axiomat. Begründung. Für die natürl. Z. gab G. Peano (1889) eine axiomat. Definition und P. Lorenzen (1950) eine operative Begründung mithilfe des Nachfolgerbegriffs. Ihre Deutung als Kardinal-Z. ist auf G. Frege, G. Cantor und B. Russell zurückzuführen.
▣ Literatur:
Felscher, W.: Naive Mengen u. abstrakte Z.en, 3 Bde. Mannheim 1978-89.
⃟ Ifrah, G.: Universalgeschichte der Z.en. Aus dem Frz. Sonderausg. Frankfurt am Main u. a. 21991.
⃟ Z.en, bearb. v. H.-D. Ebbinghaus u. a. Berlin u. a. 31992.
⃟ Frege, G.: Die Grundlagen der Arithmetik. Eine log. mathemat. Untersuchung über den Begriff der Z., hg. v. J. Schulte. Stuttgart 1995.
II Zahl,
Peter-Paul, Schriftsteller, * Freiburg im Breisgau 14. 3. 1944; trat 1966 der »Gruppe 61« bei; 1972-82 inhaftiert (Schusswechsel mit der Polizei). Sein radikaloppositioneller Standpunkt und seine Erfahrungen mit Prozess- und Haftbedingungen gingen in sein literar. Werk ein. Z. schreibt Lyrik (»Aber nein, sagte Bakunin und lachte laut«, 1983), Erzählungen und Romane (»Die Glücklichen. Schelmenroman«, 1979), Essays (»Der Staat ist eine mündelsichere Kapitalanlage. Hetze und Aufsätze 1967-1989«, 1989) und Stücke (»Der Erpresser«, 1990); Schauplatz seiner sozialkrit. Kriminalromane (u. a. »Der schöne Mann«, 1994) ist Jamaika, seit 1985 Wahlheimat des Autors.