Meyers Großes Taschenlexikon in 25 Bänden
Winkelfunktionen
Winkelfunktionen(trigonometrische Funktionen, Kreisfunktionen, goniometrische Funktionen), Sammelbez. für die transzendenten Funktionen Sinus (Formelzeichen sin), Kosinus (Cosinus, cos), Tangens (tan), Kotangens (Cotangens, cot), Sekans (Secans, sec) und Kosekans (Cosecans, cosec), die in der elementaren Geometrie als Seitenverhältnisse im rechtwinkligen Dreieck dargestellt werden; für Winkel α ≦ 90º (im Bogenmaß ≦ π/2) gilt (a Gegenkathete, b Ankathete, c Hypotenuse): [pic.]{{;.I113_F71a.BMP;T}} Für beliebige Winkel definiert man die W. an einem Kreis mit dem Radius R, dessen Mittelpunkt im Ursprung eines kartes. Koordinatensystems liegt. Der Punkt mit den Koordinaten [x (α), y (α)] gehöre zum (gerichteten) Winkel α. Die W. sind dann wie folgt definiert: [pic.]{{;.I114_F71b.BMP;T}} Die in den Definitionen verwendeten Verhältnisse sind nach den Strahlensätzen unabhängig vom Radius R. Man wählt daher R = 1 (Einheitskreis), sodass z. B. sin α = y und cos α = x wird.
Für die W. ergeben sich u. a. die folgenden Eigenschaften: sin2 α + cos2 α = 1; sin (—α) = —sin α bzw. cos (—α) = cos α; cos [(π/2) — α] = sin α bzw. sin [(π/2) — α] = cos α, ferner gelten die Additionstheoreme, insbesondere: [pic.]{{;.I115_F71c.BMP;T}} Die graf. Darstellung der Abhängigkeit der W. von der Größe des Winkels, die i. Allg. im Bogenmaß angegeben wird, führt in kartes. Koordinaten auf die Graphen der Sinus- und Kosinusfunktion y = sin x bzw. y = cos x sowie der Tangens- und Kotangensfunktion y = tan x bzw. y = cot x. Die W. sind period. Funktionen mit der Periode 2π für sin und cos und π für tan und cot. Die Umkehrfunktionen der W. sin, cos, tan und cot sind die Arkusfunktionen (zyklometr. Funktionen), deren graf. Darstellung man durch Spiegelung der zugehörigen W. an der Geraden y = x erhält. Wegen der Periodizität der W. kann man diese jeweils nur bei Einschränkung des Definitionsbereiches auf geeignete Intervalle umkehren. Wenn x nur Werte zw. —π/2 und π/2 annehmen darf, gehört zur Sinusfunktion y = sin x die Arkusfunktion Arkussinus: arcsin x = arcsin y; dabei hat y Werte zw. —1 und +1. Analog sind die Umkehrfunktionen arccos y, arctan y, arccot y. Ferner sind die W. mit den Hyperbelfunktionen und durch die eulersche Formel mit der Exponentialfunktion verknüpft (komplexe Zahl).
Winkelfunktionen(trigonometrische Funktionen, Kreisfunktionen, goniometrische Funktionen), Sammelbez. für die transzendenten Funktionen Sinus (Formelzeichen sin), Kosinus (Cosinus, cos), Tangens (tan), Kotangens (Cotangens, cot), Sekans (Secans, sec) und Kosekans (Cosecans, cosec), die in der elementaren Geometrie als Seitenverhältnisse im rechtwinkligen Dreieck dargestellt werden; für Winkel α ≦ 90º (im Bogenmaß ≦ π/2) gilt (a Gegenkathete, b Ankathete, c Hypotenuse): [pic.]{{;.I113_F71a.BMP;T}} Für beliebige Winkel definiert man die W. an einem Kreis mit dem Radius R, dessen Mittelpunkt im Ursprung eines kartes. Koordinatensystems liegt. Der Punkt mit den Koordinaten [x (α), y (α)] gehöre zum (gerichteten) Winkel α. Die W. sind dann wie folgt definiert: [pic.]{{;.I114_F71b.BMP;T}} Die in den Definitionen verwendeten Verhältnisse sind nach den Strahlensätzen unabhängig vom Radius R. Man wählt daher R = 1 (Einheitskreis), sodass z. B. sin α = y und cos α = x wird.
Für die W. ergeben sich u. a. die folgenden Eigenschaften: sin2 α + cos2 α = 1; sin (—α) = —sin α bzw. cos (—α) = cos α; cos [(π/2) — α] = sin α bzw. sin [(π/2) — α] = cos α, ferner gelten die Additionstheoreme, insbesondere: [pic.]{{;.I115_F71c.BMP;T}} Die graf. Darstellung der Abhängigkeit der W. von der Größe des Winkels, die i. Allg. im Bogenmaß angegeben wird, führt in kartes. Koordinaten auf die Graphen der Sinus- und Kosinusfunktion y = sin x bzw. y = cos x sowie der Tangens- und Kotangensfunktion y = tan x bzw. y = cot x. Die W. sind period. Funktionen mit der Periode 2π für sin und cos und π für tan und cot. Die Umkehrfunktionen der W. sin, cos, tan und cot sind die Arkusfunktionen (zyklometr. Funktionen), deren graf. Darstellung man durch Spiegelung der zugehörigen W. an der Geraden y = x erhält. Wegen der Periodizität der W. kann man diese jeweils nur bei Einschränkung des Definitionsbereiches auf geeignete Intervalle umkehren. Wenn x nur Werte zw. —π/2 und π/2 annehmen darf, gehört zur Sinusfunktion y = sin x die Arkusfunktion Arkussinus: arcsin x = arcsin y; dabei hat y Werte zw. —1 und +1. Analog sind die Umkehrfunktionen arccos y, arctan y, arccot y. Ferner sind die W. mit den Hyperbelfunktionen und durch die eulersche Formel mit der Exponentialfunktion verknüpft (komplexe Zahl).