Wahrscheinlichkeitsrechnung
Wahrscheinlichkeitsrechnung,Teilgebiet der Mathematik, das sich mit den Gesetzmäßigkeiten zufälliger Ereignisse befasst, die bei Massenerscheinungen verschiedenster Art auftreten.
Definition der Wahrscheinlichkeit: Gegeben sei eine Menge von unbeschränkt wiederholbaren Versuchen oder Stichproben, wie die Menge aller mögl. Würfe mit einem Würfel. Die mögl. Ergebnisse der Versuche, z. B. die Augenzahlen 1, 2, 3, 4, 5 oder 6, nennt man Elementarereignisse. Gewisse Mengen von Elementarereignissen bezeichnet man als Ereignisse (z. B. Würfeln einer geraden Augenzahl), sie bilden die Gesamtheit der günstigen Fälle. Die Annahme der klass. W., dass alle Elementarereignisse gleich wahrscheinlich sind, führte zur laplaceschen Definition der klass. Wahrscheinlichkeit: Die Wahrscheinlichkeit P (E) für das Eintreten des Ereignisses E ist gleich dem Quotienten aus der Anzahl g der für das Ereignis günstigen und der Anzahl m der mögl. Elementarereignisse: P (E) = g/m. Eine wesentl. Einschränkung dieser Definition ist durch die Bedingung der gleichmögl. Fälle gegeben. Man führt daher die Definition der statist. Wahrscheinlichkeit ein, indem die Wahrscheinlichkeit für das Eintreffen des Ereignisses E als Grenzwert der relativen Häufigkeit des Ereignisses E bei unendl. Anzahl von Beobachtungen bestimmt wird: [pic.]{{;.I110_F68.BMP;T}} Nach dem Gesetz der großen Zahlen nähert sich die statist. Wahrscheinlichkeit P (E) bei genügend großer Anzahl von Beobachtungen einem konstanten Wert. - Der Aufbau der W. als einer axiomat. Theorie, der sich auf Mengenlehre und Maßtheorie stützt, geht auf A. N. Kolmogorow zurück.
Eigenschaften von Wahrscheinlichkeiten (kolmogorowsches Axiomensystem): 1) Jedem Ereignis E wird eine Zahl P (E), seine Wahrscheinlichkeit, zugeordnet, wobei 0 ≦ P (E) ≦ 1. 2) Die Aussagen P (E) = 1 bzw. P (E) = 0 bedeuten, dass E ein sicheres bzw. ein unmögl. Ereignis ist. Ist P (E) die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten von E, so ist 1 — P (E) die Wahrscheinlichkeit für das Nichteintreten von E. 3) Additionssatz der W.: Sind A und B unvereinbare Ereignisse, so gilt für das Eintreten von A oder B: P (A ∪ B) = P (A)+P (B). - Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses A unter der Bedingung, dass ein anderes Ereignis B mit P (B) ≠ 0 bereits eingetreten ist, wird mit P (A | B) bezeichnet und heißt bedingte Wahrscheinlichkeit. Können Ereignisse gleichzeitig eintreten, so bezeichnet man sie als (stochastisch) unabhängig, wenn das Eintreten des einen die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten des anderen in keiner Weise beeinflusst, d. h., wenn gilt: P (A | B ) = P (A). Für diese Ereignisse gilt der Multiplikationssatz der W.: P (AB) = P (A) · P (B).
Historisch entstanden (um 1650) aus der mathemat. Durchdringung der Glücksspiele (Kombinatorik), findet die moderne W. als Grundlage der mathemat. Statistik insbesondere in Physik (Atomphysik, kinet. Gastheorie), Biologie (Populationsdynamik, Genetik) und den Wirtschaftswiss. Anwendung.
▣ Literatur:
Basler, H.: Grundbegriffe der W. u. statist. Methodenlehre. Heidelberg ¹¹1994.
⃟ Behrends, E.: Überall Zufall. Eine Einführung in die W. Mannheim u. a. ¹¹1994.
⃟ Bosch, K.: Lexikon der Statistik. München u. a. ²1997.
⃟ Hauser, W.: Die Wurzeln der W. Stuttgart 1997.