Meyers Großes Taschenlexikon in 25 Bänden
Vektorraum
Vẹktor|raum(linearer Raum), eine Menge V, für deren als Vektoren bezeichnete Elemente neben der Addition, bei der (V, +) eine kommutative Gruppe bildet, eine Multiplikation mit den als Skalare bezeichneten Elementen eines Körpers K (der reellen oder komplexen Zahlen) definiert ist. Für jedes α, β ∈ K und a, b ∈ V gilt dabei: (1) α (β a ) = (α β ) a, (2) (α + β) a = α a + β a, (3) α (a + b) = α a + α b und (4) 1 · a = a.
Vektoren eines V. heißen linear unabhängig, wenn es keine Linearkombination dieser Vektoren gibt, die den Nullvektor erzeugt. Ein V. hat die Dimension n, wenn es n linear unabhängige Vektoren e1, ... en in V gibt. Jeder Vektor lässt sich in ihm eindeutig in der Form α1 e1 + ... +αnen (αn ∈ K) darstellen, diese n erzeugenden Vektoren bilden eine Basis des V. - Die Abbildung f eines reellen V. V in einen reellen V. W heißt lineare Abbildung, wenn f (a + b ) = f (a ) + f (b ) und f (α a ) = α f (a ) gilt.
Vẹktor|raum(linearer Raum), eine Menge V, für deren als Vektoren bezeichnete Elemente neben der Addition, bei der (V, +) eine kommutative Gruppe bildet, eine Multiplikation mit den als Skalare bezeichneten Elementen eines Körpers K (der reellen oder komplexen Zahlen) definiert ist. Für jedes α, β ∈ K und a, b ∈ V gilt dabei: (1) α (β a ) = (α β ) a, (2) (α + β) a = α a + β a, (3) α (a + b) = α a + α b und (4) 1 · a = a.
Vektoren eines V. heißen linear unabhängig, wenn es keine Linearkombination dieser Vektoren gibt, die den Nullvektor erzeugt. Ein V. hat die Dimension n, wenn es n linear unabhängige Vektoren e1, ... en in V gibt. Jeder Vektor lässt sich in ihm eindeutig in der Form α1 e1 + ... +αnen (αn ∈ K) darstellen, diese n erzeugenden Vektoren bilden eine Basis des V. - Die Abbildung f eines reellen V. V in einen reellen V. W heißt lineare Abbildung, wenn f (a + b ) = f (a ) + f (b ) und f (α a ) = α f (a ) gilt.