Meyers Großes Taschenlexikon in 25 Bänden
komplexe Zahl
komplẹxe Zahl,Zahl der Form z = a + ib mit reellen Zahlen a und b sowie der imaginären Einheit i2 = —1 bzw. [pic.]{{;.I132_F42c.BMP;T}} . Man bezeichnet a als Realteil (a = Re z) und b als Imaginärteil (b = Im z) der k. Z.; stimmen Real- und Imaginärteil zweier k. Z. überein, so sind sie gleich. Für b = 0 ist z reell, im Falle a = 0 liegt eine (rein) imaginäre Zahl vor. Eine von 0 (= 0 + 0 · i ) verschiedene k. Z. z kann man durch ihre Entfernung r vom Koordinatenursprung und den Winkel ϕ zw. der Verbindungsstrecke zum Koordinatenursprung und der positiven reellen Achse in einem kartes. Koordinatensystem angeben. Als konjugiert k. Z. zu z bezeichnet man die k. Z. (in der Elektrotechnik auch z*) = a — i b. - Für die als Paare (a, b) reeller Zahlen definierten k. Z. sind folgende Verknüpfungen festgelegt: [pic.]{{;.I059_F42a.BMP;T}} Die reellen Zahlen selbst lassen sich in die Menge dieser Paare einbetten als die Menge der Paare (a, 0). Bezeichnet i=: (0, 1)die imaginäre Einheit, so lässt sich jedes Paar in der Form (a, b) = (a, 0) + (0, 1) (b, 0) = a + i b = z schreiben.
Mithilfe eines kartes. Koordinatensystems wird z durch den Punkt (a, b) dargestellt. In dieser Darstellung heißt die Menge der k. Z. auch gaußsche Zahlenebene oder komplexe Ebene, wobei die x-Achse die reelle, die y-Achse (mit i als Einheit) die imaginäre Achse bezeichnet. Der euklid. Abstand [pic.]{{;.I133_F42d.BMP;T}} von (a, b) zum Nullpunkt heißt Betrag von z, der Winkel ϕ = arg z (im Bogenmaß) zw. der x-Achse und dem Strahl vom Ursprung durch (a, b) heißt Argument von z. In Polarkoordinaten schreibt man [pic.]{{;.I060_F42b.BMP;T}} (eulersche Darstellung); dabei ist r = |z| und ϕ = arctan (b / a).
Die Menge der k. Z. bildet mit der Addition und Multiplikation einen Körper, der den Körper der reellen Zahlen ℝ umfasst und in dem jede algebraische Gleichung eine Lösung besitzt. - Die Einbettung der reellen Zahlen in den Körper der k. Z. ist ein Beispiel für einen Isomorphismus: Der reellen Zahl a entspricht im komplexen Bereich die k. Z. (a, 0). Ein hyperkomplexes System, auch als K-Algebra bezeichnet, ist eine Weiterentwicklung der k. Z. Anstelle der Basiselemente 1 und i gibt es dabei endlich viele Basiselemente β1, β2, ... βn, anstelle der reellen Zahlen a und b als Koeffizienten treten Elemente a1, a2, ... an aus einem beliebigen Körper K auf. Für die Ausdrücke a1 · β1 + ... + an · βn (Elemente des hyperkomplexen Systems, im einfachsten Fall hyperkomplexe Zahlen), die sich in nahe liegender Weise (koeffizientenweise) addieren lassen, kann man wieder eine Multiplikation erklären. Ist diese assoziativ, spricht man von einem hyperkomplexen System (Quaternionen).
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