Meyers Großes Taschenlexikon in 25 Bänden
Integralrechnung
Integralrechnung,Teilgebiet der höheren Mathematik, das sich mit einer als Integration bezeichneten Rechenoperation befasst, die einer vorgegebenen Funktion f (x) entweder einen festen Zahlenwert (ihr so genanntes bestimmtes Integral) oder eine andere Funktion (ihr unbestimmtes Integral) zuordnet. In der I. einer Veränderlichen wird das bestimmte Integral von der Flächenberechnung her eingeführt. Man versteht unter dem bestimmten Integral [pic.]{{;.I048_F39a.BMP;T}}
den Inhalt der Fläche, die von der x-Achse, den beiden Ordinaten x = a und x = b und der Kurve y = f (x) eingeschlossen wird. f (x) bezeichnet man als den Integranden des Integrals I, das Intervall [a, b] als Integrationsbereich und die Variable x als Integrationsvariable.
Wählt man bei festem a eine variable obere Grenze (unbestimmte Integration), dann ist das unbestimmte Integral [pic.]{{;.I049_F39b.BMP;T}}
eine Funktion von x, die so genannte Stammfunktion F (x). Ist f stetig, gilt der Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung: F ' (x) = f (x).
Alle Stammfunktionen F (x) einer Funktion f (x) unterscheiden sich nur durch eine Konstante C. Der Hauptsatz macht deutlich, dass die Integration als Umkehroperation der Differenziation aufgefasst werden kann. Mit ihm findet man leicht einige Integrationsregeln: [pic.]{{;.I050_F39c.BMP;T}} [pic.]{{;.I051_F39c.BMP;T}} [pic.]{{;.I052_F39c.BMP;T}} [pic.]{{;.I053_F39c.BMP;T}} Die Berechnung von Integralen ist nicht immer durch direkte Integration möglich.
Für Funktionen zweier und mehrerer Variablen definiert man die Integrale analog, indem man statt von der Kurve y = f (x) in der Ebene z. B. bei zwei Variablen von einer die Funktion f (x, y) veranschaulichenden Fläche im Raum ausgeht (Gebietsintegrale). Näherungswerte gewinnt man mithilfe numer. oder graf. Verfahren oder unter Verwendung von Integriergeräten.
Geschichte: Der systemat. Ausbau der I. begann im 17. Jh., bes. durch G. W. Leibniz und I. Newton. Die weiteren Fortschritte fasste L. Euler in den »Institutiones calculi integralis« (1768-70) zusammen. Die strengere Grundlegung der Mathematik im 19. Jh. führte zu einer Verallgemeinerung des klass. Integralbegriffs.
Integralrechnung,Teilgebiet der höheren Mathematik, das sich mit einer als Integration bezeichneten Rechenoperation befasst, die einer vorgegebenen Funktion f (x) entweder einen festen Zahlenwert (ihr so genanntes bestimmtes Integral) oder eine andere Funktion (ihr unbestimmtes Integral) zuordnet. In der I. einer Veränderlichen wird das bestimmte Integral von der Flächenberechnung her eingeführt. Man versteht unter dem bestimmten Integral [pic.]{{;.I048_F39a.BMP;T}}
den Inhalt der Fläche, die von der x-Achse, den beiden Ordinaten x = a und x = b und der Kurve y = f (x) eingeschlossen wird. f (x) bezeichnet man als den Integranden des Integrals I, das Intervall [a, b] als Integrationsbereich und die Variable x als Integrationsvariable.
Wählt man bei festem a eine variable obere Grenze (unbestimmte Integration), dann ist das unbestimmte Integral [pic.]{{;.I049_F39b.BMP;T}}
eine Funktion von x, die so genannte Stammfunktion F (x). Ist f stetig, gilt der Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung: F ' (x) = f (x).
Alle Stammfunktionen F (x) einer Funktion f (x) unterscheiden sich nur durch eine Konstante C. Der Hauptsatz macht deutlich, dass die Integration als Umkehroperation der Differenziation aufgefasst werden kann. Mit ihm findet man leicht einige Integrationsregeln: [pic.]{{;.I050_F39c.BMP;T}} [pic.]{{;.I051_F39c.BMP;T}} [pic.]{{;.I052_F39c.BMP;T}} [pic.]{{;.I053_F39c.BMP;T}} Die Berechnung von Integralen ist nicht immer durch direkte Integration möglich.
Für Funktionen zweier und mehrerer Variablen definiert man die Integrale analog, indem man statt von der Kurve y = f (x) in der Ebene z. B. bei zwei Variablen von einer die Funktion f (x, y) veranschaulichenden Fläche im Raum ausgeht (Gebietsintegrale). Näherungswerte gewinnt man mithilfe numer. oder graf. Verfahren oder unter Verwendung von Integriergeräten.
Geschichte: Der systemat. Ausbau der I. begann im 17. Jh., bes. durch G. W. Leibniz und I. Newton. Die weiteren Fortschritte fasste L. Euler in den »Institutiones calculi integralis« (1768-70) zusammen. Die strengere Grundlegung der Mathematik im 19. Jh. führte zu einer Verallgemeinerung des klass. Integralbegriffs.