Grenzwert
Grenzwert(Limes, Abk. lim), Mathematik: der Wert a, dem sich die Glieder einer Zahlenfolge (a_n) beliebig annähern, wenn die Gliederzahl n der Folge unbegrenzt anwächst: [pic.]{{;.I039_F30c.BMP;T}} (gesprochen »Limes von a_n für n gegen unendlich«). Das ist der Fall, wenn es zu jeder noch so kleinen positiven Zahl ε > 0 eine natürl. Zahl N (ε) gibt, sodass || a — a _n || < —ε für alle n > N (ε) gilt. Zum Beispiel strebt die Folge 1, ¹/₂ , ¹/₃ , ¹/₄ , ... für n → ∞ dem G. 0 zu, sie ist konvergent und konvergiert gegen den G. 0, sie bildet eine Nullfolge. Ist kein G. vorhanden, wie bei der Folge 1, —1, 2, —2, 3, —3, ... so ist die Folge divergent. Analog nimmt eine reellwertige Funktion f (x) an der Stelle x₀ den Grenzwert a an: [pic.]{{;.I040_F30d.BMP;T}}
wenn für jede gegen x₀ konvergierende Folge x₁, x₂, x₃, ... die Folge der Funktionswerte f (x₁), f (x₂), f (x₃), ... gegen a konvergiert.