Meyers Großes Taschenlexikon in 25 Bänden
Geometrie
Geometrie[grch. »Landmessung«] die, Teilgebiet der Mathematik, das aus der Beschäftigung mit den Eigenschaften und Formen des Raumes, wie der Gestalt ebener und räuml. Figuren, Berechnung von Längen, Flächen, Inhalten u. a. entstand. Die G. beginnt im heutigen Sinn mit dem von Euklid von Alexandria verfassten Werk »Die Elemente«; erst von da an wurde sie aus einigen wenigen, anschaulich einleuchtenden Sätzen (Axiomen und Postulaten) deduktiv entwickelt. Diese als euklidische Geometrie bezeichnete »klass. G.« basiert auf dem Parallelenaxiom von Euklid. Erst im 19. Jh. entdeckte man, dass es von den übrigen Axiomen unabhängig ist, sodass von der euklid. G. die nichteuklidische Geometrie unterschieden wird. Eine weitere Verallgemeinerung bildet die Riemann-Geometrie. Das Gebiet der G. wird nach den unterschiedlichsten Gesichtspunkten eingeteilt und gegliedert. Während die synthet. G. auf Axiomensystemen aufbaut, werden in der analyt. G. (R. Descartes 1637) die Punkte der Ebene und des Raumes durch Koordinaten festgelegt und damit die geometr. Fragen in Probleme der Algebra oder der Analysis (Differenzial-G. und Integral-G.) umgewandelt. In der Elementar-G. unterscheidet man zw. Planimetrie (ebene G.) und Stereometrie (räuml. G.). Gegenstand der Trigonometrie ist die Berechnung von Längen und Winkeln geometr. Figuren. Größen, die Invarianten bei Abbildungen, Kongruenz- oder Ähnlichkeitsabbildungen sind, untersucht die Abbildungs-, Kongruenz- bzw. Ähnlichkeits-G. - Eine Systematisierung der G. mithilfe der Gruppentheorie und des Invariantenbegriffs entwarf 1872 F. Klein.
Zur affinen G. gehören die Größen, die bei affinen Transformationen invariant sind, d. h. bei denen das Verhältnis der Abstände je zweier Punktepaare auf einer Geraden sich nicht ändert, z. B. Parallelität zweier Geraden. Die projektive G. untersucht die Eigenschaften geometr. Elemente, die sich bei sog. Projektionen nicht ändern.Geschichte: Einfache geometr. Tatsachen waren schon in vorgeschichtl. Zeit bekannt. Zu einer durch Beweise aufgebauten systemat. G. gelangten erst die Griechen. Berühmte Geometer des Altertums waren Thales, Pythagoras, Hippokrates, Platon, Euklid, Archimedes, Apollonios von Perge. Weitere Fortschritte erzielten im MA. die Araber, während das Abendland sich erst durch die Wiederbegegnung mit der Antike in Humanismus und Renaissance für geometr. Fragen zu interessieren begann. Von besonderer Bedeutung auf dem Gebiet der G. waren: G. von Peurbach, Regiomontanus im 15. Jh., J. Kepler und P. Guldin im 16. Jh., B. Cavalieri, G. Galilei, G. Desargues, R. Descartes, B. Pascal, C. Huygens, I. Newton, G. W. Leibniz im 17. Jh., C. MacLaurin, L. Euler, J. L. Lagrange, G. Monge im 18. Jh., J. V. Poncelet, J. Steiner, A. F. Möbius, J. Plücker, L. O. Hesse, F. Bolyai, N. Lobatschewski, C. F. Gauß im 19. Jh., D. Hilbert, F. Klein, B. Riemann u. a. im 20. Jh.
▣ Literatur:
Colerus, E.: Vom Punkt zur vierten Dimension. G. für jedermann. Lizenzausg. Augsburg 1990.
Geometrie[grch. »Landmessung«] die, Teilgebiet der Mathematik, das aus der Beschäftigung mit den Eigenschaften und Formen des Raumes, wie der Gestalt ebener und räuml. Figuren, Berechnung von Längen, Flächen, Inhalten u. a. entstand. Die G. beginnt im heutigen Sinn mit dem von Euklid von Alexandria verfassten Werk »Die Elemente«; erst von da an wurde sie aus einigen wenigen, anschaulich einleuchtenden Sätzen (Axiomen und Postulaten) deduktiv entwickelt. Diese als euklidische Geometrie bezeichnete »klass. G.« basiert auf dem Parallelenaxiom von Euklid. Erst im 19. Jh. entdeckte man, dass es von den übrigen Axiomen unabhängig ist, sodass von der euklid. G. die nichteuklidische Geometrie unterschieden wird. Eine weitere Verallgemeinerung bildet die Riemann-Geometrie. Das Gebiet der G. wird nach den unterschiedlichsten Gesichtspunkten eingeteilt und gegliedert. Während die synthet. G. auf Axiomensystemen aufbaut, werden in der analyt. G. (R. Descartes 1637) die Punkte der Ebene und des Raumes durch Koordinaten festgelegt und damit die geometr. Fragen in Probleme der Algebra oder der Analysis (Differenzial-G. und Integral-G.) umgewandelt. In der Elementar-G. unterscheidet man zw. Planimetrie (ebene G.) und Stereometrie (räuml. G.). Gegenstand der Trigonometrie ist die Berechnung von Längen und Winkeln geometr. Figuren. Größen, die Invarianten bei Abbildungen, Kongruenz- oder Ähnlichkeitsabbildungen sind, untersucht die Abbildungs-, Kongruenz- bzw. Ähnlichkeits-G. - Eine Systematisierung der G. mithilfe der Gruppentheorie und des Invariantenbegriffs entwarf 1872 F. Klein.
Zur affinen G. gehören die Größen, die bei affinen Transformationen invariant sind, d. h. bei denen das Verhältnis der Abstände je zweier Punktepaare auf einer Geraden sich nicht ändert, z. B. Parallelität zweier Geraden. Die projektive G. untersucht die Eigenschaften geometr. Elemente, die sich bei sog. Projektionen nicht ändern.Geschichte: Einfache geometr. Tatsachen waren schon in vorgeschichtl. Zeit bekannt. Zu einer durch Beweise aufgebauten systemat. G. gelangten erst die Griechen. Berühmte Geometer des Altertums waren Thales, Pythagoras, Hippokrates, Platon, Euklid, Archimedes, Apollonios von Perge. Weitere Fortschritte erzielten im MA. die Araber, während das Abendland sich erst durch die Wiederbegegnung mit der Antike in Humanismus und Renaissance für geometr. Fragen zu interessieren begann. Von besonderer Bedeutung auf dem Gebiet der G. waren: G. von Peurbach, Regiomontanus im 15. Jh., J. Kepler und P. Guldin im 16. Jh., B. Cavalieri, G. Galilei, G. Desargues, R. Descartes, B. Pascal, C. Huygens, I. Newton, G. W. Leibniz im 17. Jh., C. MacLaurin, L. Euler, J. L. Lagrange, G. Monge im 18. Jh., J. V. Poncelet, J. Steiner, A. F. Möbius, J. Plücker, L. O. Hesse, F. Bolyai, N. Lobatschewski, C. F. Gauß im 19. Jh., D. Hilbert, F. Klein, B. Riemann u. a. im 20. Jh.
▣ Literatur:
Colerus, E.: Vom Punkt zur vierten Dimension. G. für jedermann. Lizenzausg. Augsburg 1990.