Meyers Großes Taschenlexikon in 25 Bänden
Differenzialrechnung
Differenzialrechnung, Teilgebiet der Mathematik; sie bildet, mit der Integralrechnung zur Infinitesimalrechnung zusammengefasst, eine der Grundlagen für die höhere Analysis. Gegenstand der D. ist die Untersuchung des Differenzialquotienten einer Funktion; solche Größen treten in vielen mathemat. und physikal. Fragestellungen auf. Eine reellwertige Funktion y = f (x) der Variablen x, die in der Umgebung von x0 definiert ist, nennt man an der Stelle x0 differenzierbar, wenn der Grenzwert des Differenzenquotienten [pic.]{{;.I011_F11.BMP;T}}
existiert.
Man bezeichnet diesen Grenzwert als Differenzialquotienten oder die Ableitung der Funktion f (x) an der Stelle x0 und schreibt [pic.]{{;.I012_F12.BMP;T}}
(gesprochen dy nach dx ). Das Berechnen der Ableitung heißt Differenziation (auch Differenzieren). Ist f ' (x) ebenfalls differenzierbar, existieren die zweite Ableitung f '' (x) und ggf. höhere Ableitungen. - Der Ausdruck dy = f ' (x0) dx heißt Differenzial von f an der Stelle x0, die Größe dx = Δ x Differenzial der unabhängigen Variablen. Geometrisch stellt der Differenzenquotient den Tangens der zugehörigen, durch die Kurvenpunkte P und Q gehenden Sekante dar: tan α = Δy /Δ x. Beim Grenzübergang Δ x → 0 geht die Sekante in die Kurventangente an die Kurve y = f (x) in P über, sodass f ' (x) die Steigung der Kurve darstellt: tan α0 = f ' (x0). - Ist eine Funktion von mehreren Variablen abhängig, so bildet man partielle Ableitungen nach einer Variablen, indem man alle anderen Variablen als konstant ansieht. - Die D. wurde am Ende des 17. Jh. durch Leibniz und Newton (unabhängig voneinander) entwickelt.
▣ Literatur:
Courant, R.: Vorlesungen über Differential- u. Integralrechnung, 2 Bde. Berlin u. a. 41971-72.
⃟ Dieudonné, J. A.: Grundzüge der modernen Analysis, 9 Bde. A. d. Engl. u. Frz. Berlin u. a. 1-31976-87.
⃟ Hockman, K. C.: The differential calculus as the model of desire in French fiction of seventeenth and eighteenth centuries. New York 1997.
Differenzialrechnung, Teilgebiet der Mathematik; sie bildet, mit der Integralrechnung zur Infinitesimalrechnung zusammengefasst, eine der Grundlagen für die höhere Analysis. Gegenstand der D. ist die Untersuchung des Differenzialquotienten einer Funktion; solche Größen treten in vielen mathemat. und physikal. Fragestellungen auf. Eine reellwertige Funktion y = f (x) der Variablen x, die in der Umgebung von x0 definiert ist, nennt man an der Stelle x0 differenzierbar, wenn der Grenzwert des Differenzenquotienten [pic.]{{;.I011_F11.BMP;T}}
existiert.
Man bezeichnet diesen Grenzwert als Differenzialquotienten oder die Ableitung der Funktion f (x) an der Stelle x0 und schreibt [pic.]{{;.I012_F12.BMP;T}}
(gesprochen dy nach dx ). Das Berechnen der Ableitung heißt Differenziation (auch Differenzieren). Ist f ' (x) ebenfalls differenzierbar, existieren die zweite Ableitung f '' (x) und ggf. höhere Ableitungen. - Der Ausdruck dy = f ' (x0) dx heißt Differenzial von f an der Stelle x0, die Größe dx = Δ x Differenzial der unabhängigen Variablen. Geometrisch stellt der Differenzenquotient den Tangens der zugehörigen, durch die Kurvenpunkte P und Q gehenden Sekante dar: tan α = Δy /Δ x. Beim Grenzübergang Δ x → 0 geht die Sekante in die Kurventangente an die Kurve y = f (x) in P über, sodass f ' (x) die Steigung der Kurve darstellt: tan α0 = f ' (x0). - Ist eine Funktion von mehreren Variablen abhängig, so bildet man partielle Ableitungen nach einer Variablen, indem man alle anderen Variablen als konstant ansieht. - Die D. wurde am Ende des 17. Jh. durch Leibniz und Newton (unabhängig voneinander) entwickelt.
▣ Literatur:
Courant, R.: Vorlesungen über Differential- u. Integralrechnung, 2 Bde. Berlin u. a. 41971-72.
⃟ Dieudonné, J. A.: Grundzüge der modernen Analysis, 9 Bde. A. d. Engl. u. Frz. Berlin u. a. 1-31976-87.
⃟ Hockman, K. C.: The differential calculus as the model of desire in French fiction of seventeenth and eighteenth centuries. New York 1997.