Duden - Das Herkunftswörterbuch
ausbaden
ausbaden↑ "Bad".
• ausbaden
etw. ausbaden müssen
(ugs. ) »die Folgen von etwas tragen müssen«
Die Wendung bezieht sich wahrscheinlich darauf, dass früher, wenn mehrere Personen nacheinander gebadet hatten, der Letzte das Wasser ausgießen und das Bad säubern musste (ausbaden bedeutet eigentlich »zu Ende baden«).
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