Duden - Das Stilwörterbuch
nachlaufen
:eilig [zu Fuß] folgen: die Kinder liefen der Mutter [in den Garten], dem Eiswagen nach;
Ü er läuft einer Illusion nach; alle Mädchen laufen ihm nach (bemühen sich um seine Zuneigung); sie muss ihrem Geld nachlaufen (ugs. ; muss es eintreiben).
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